gegeben sein. Dabei
ist h in cm und t in Stunden 
gemessen.
In der Realität wird die Funktion natürlich nicht eine so einfache Struktur haben.Variante 2:
Einführung in den Begriff der Differenzierbarkeit
Schilderung eines Problemzusammenhangs
An einer meteorologischen Meßstation werden verschiedenen Wetterdaten erhoben. Unter anderem wird auch die Regenmenge registriert. In einem oben offenen Glasrohr kann abgelesen werden, wie hoch der Regenwasserstand ist.
Wird zu verschiedenen Zeitpunkten die Höhe des Wasserstandes registriert, ergibt sich eine Wasserstandsfunktion. Mit Hilfe dieser Funktion lassen sich eine ganze Reihe von Fragen beantworten.
Fragen zum Problemzusammenhang
Wenn die Schülerinnen und Schüler daran gewöhnt sind, zu offenen Problemstellungen relevante Fragen zu stellen, werden sie selber einige Fragen der folgenden Art formulieren:
Sie werden eventuell auch selber eine mögliche Funktionsgleichung angeben können.
Ein Beispiel für die Wasserstandsfunktion könnte durch die Gleichung gegeben sein. Dabei
ist h in cm und t in Stunden gemessen.
In der Realität wird die Funktion natürlich nicht eine so einfache Struktur haben.
Während die Fragen nach der Regenmenge unmittelbar mit Hilfe der Funktion beantwortet werden können, ist bei den Fragen nach der Heftigkeit des Regens eine neue Begriffsbildung erforderlich.
Heftigkeit des Regens
Den Schülerinnen und Schülern wird klar, dass die Frage nach der Heftigkeit des Regens nicht mit einer Angabe in der Einheit cm beantwortet werden kann. Hier ist eine Angabe in der Einheit cm/h oder cm/min erforderlich, es handelt sich also um die Angabe einer Rate. Es ist die Änderungsrate der Höhe des Wasserstandes.
Wasserstand um 15.00 Uhr: 
Wasserstand um 15.30 Uhr: 
Erhöhung des Wasserstandes: 
Durchschnittliche Änderungsrate des Wasserstandes in der Zeitspanne von 15 Uhr bis
15.30 Uhr: 
(Näherungswert für die
gesuchte Regenheftigkeit um 15.00 Uhr)
Verbesserung der Näherung durch kürzere Zeitabschnitte: 
Im Grenzwert (wenn k immer kleiner wird) ergibt sich eine Regenheftigkeit von etwa 
.
Im Anschluß können die einzelnen Rechenschritte am Funktionsgraphen veranschaulicht werden. Dabei ergibt sich, dass die durchschnittliche Änderungsrate durch die Sekantensteigung und die momentane Änderungsrate durch die Tangentensteigung veranschaulicht werden können.