Lösungen der Aufgaben zu Durchschnitt, Standardabweichung und Normalverteilung

Lösung zu Aufgabe 1:

1. Es ist . Der Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel, die die x-Achse bei –3 bzw. 3 schneidet. Also liegen im Intervall keine negativen Funktionswerte vor.
2. 
3. 
4. Wenn die Dichtefunktion konstant oder stückweise konstant ist, ist eine Berechnung des Mittelwertes als Produkt bzw. als Summe von Produkten möglich. Da das hier nicht der Fall ist, muss die Integralrechnung als Verallgemeinerung der Multiplikation verwendet werden.

Lösung zu Aufgabe 3:

Die Dichtefunktion hat in dieser Aufgabe die Gleichung .

1. Zu berechnen ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis im Intervall , da die Dichtefunktion auch im Negativen von 0 verschiedene Werte hat. In der Anwendungssituation machen natürlich negative Füllmengen keinen Sinn: . Rund 20% der Tüten enthalten weniger als 995 g Zucker.
2. Die obere Grenze des Integrals ist so zu wählen, dass der Wert des Integrals 0,01 beträgt:.
   Der Produzent sollte garantieren, dass mindestens 986 g in der Tüte enthalten sind.

Die Werte der Integrale wurden mit DERIVE bestimmt. Es ist sinnvoll, den allgemeinen Funktionsterm der Normalverteilung in einer Datei zu speichern und bei jeder Aufgabe mit Hilfe der Parameter ‚Dichte‘ und Standardabweichung‘ anzupassen:

Bei Integralen, wie sie in dieser Aufgabe vorkommen, empfiehlt es sich, zunächst eine exakte Vereinfachung durchzuführen und erst danach zu approximieren. Will man direkt den Wert des Integrales approximieren, benötigt DERIVE erheblich mehr Zeit dafür.

Bei Gleichungen, wie sie in Teil b) vorkommen, kann eine exakte Lösung nicht erfolgen. Deshalb sind solche Gleichungen nummerisch zu lösen. Die Lösung ist sicherlich kleiner als der Mittelwert. Daher kann das Intervall, in dem das Programm die Lösung suchen soll, leicht angegeben werden.

Lösung mit Hilfe von DERIVE (als Bild)

Download der komprimierten DERIVE-Dateien (Normdichte, Aufgabe 3, Aufgabe 4)

Lösung zu Aufgabe 4:

Die Dichtefunktion für die Teile a) und b) hat die Gleichung .

1. Es geht jetzt um die Nägel, deren Länge zwischen 24 mm und 26 mm liegt: . Somit weicht bei rund 90% der Nägel die Länge weniger als 1 mm vom Soll-Wert ab.
2. Die Reklamationen könnten sich zur Hälfte auf zu kurze und zu lange Nägel verteilen:
   .
   Die Grenzen des Garantiebereiches sollten sinnvoll gerundet werden. Rundet man auf 23,5 mm und 26,5 mm wird die Reklamationsrate über 1% liegen, da der Garantiebereich verkleinert wurde. Eine Rundung auf 23,4 und 26,6 vergrößert der Garantiebereich. Die Reklamationsrate liegt dann bei rund 0,8%.
3. In diesem Aufgabenteil hat die Dichtefunktion die Gleichung .
   s ist so zu bestimmen, dass im Bereich zwischen 23,4 mm und 26,6 mm 99,5 % der Werte liegen: .
   Die Standardabweichung der neuen Maschine sollte weniger als 0,57 mm betragen.

Lösung mit Hilfe von DERIVE (als Bild)

Download der komprimierten DERIVE-Dateien (Normdichte, Aufgabe 3, Aufgabe 4)

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