Klausuraufgaben zur Differentialrechnung

 

Im Folgenden werden Aufgaben angeboten, die in Klausuren verwendet wurden. Bei einigen der Aufgaben war die Verwendung eines Computer-Algebra-Systems möglich. Die Aufgaben wurden sowohl in Grund- als auch in Leistungskursen eingesetzt.

1. Die Volumenfunktion in einem Gefäß ist durch die Gleichung im Intervall [0;18] gegeben.
Der Graph ist auf dem beiliegenden Blatt abgedruckt.

  1. Beschreiben Sie in Worten, was Sie aus dem Graphen ablesen können.
  2. Wieviel von dem Volumen wird im Intervall [0;10] verbraucht? Wie groß ist die durchschnittliche Verbrauchsrate in diesem Intervall?
  3. Zu welchem Zeitpunkt ist die Hälfte des Anfangsvolumens im Gefäß?
  4. Gibt es Zeitpunkte, zu denen nichts verbraucht wird?
  5. Zu welchem Zeitpunkt im Intervall [0;10] ist der Verbrauch maximal? Wie groß ist der maximale Verbrauch?
  6. Zu welchem Zeitpunkt im Intervall [0;10] ist der Verbrauch minimal? Wie groß ist der minimale Verbrauch?
  7. Von welchem Zeitpunkt an wird das Gefäß wieder gefüllt?
  8. Wann ist die Anfangsfüllung wieder erreicht?

 

2. Gegeben ist eine Volumenfunktion durch einen Term V(t). Schreiben Sie jeweils auf, zu welcher Fragestellung der Rechenansatz paßt:

  1. V(17)
  2. V(t) = 5,3
  3. V(12) – V(3)
  4. V‘(t) = 0
  5. V‘(5)

 

3. Die Füllmenge in einem Vorratsbehälter ist durch die Funktion mit der Gleichung gegeben. Dabei ist V in m³ und t in Stunden gemessen. Betrachtet wird der Ablauf eines Tages, also t liegt zwischen 0 und 24.

  1. Wie groß ist der Verbrauch im Laufe des Tages?
  2. Ist der Vorratsbehälter im Laufe des Tages irgendwann leer?
  3. Wann ist die Hälfte der Anfangsmenge im Behälter?
  4. Wie groß ist die durchschnittliche Verbrauchsrate während des Tages?
  5. Zu welchem Zeitpunkt ist der Verbrauch maximal?
  6. Zu welchem Zeitpunkt ist der Verbrauch minimal?
  7. Wie groß ist der minimale bzw. maximale Verbrauch?

 

4. Durch die Funktion mit der Gleichung h(t)=-0,004t3+0,05t2+t wird der Wasserstand in einem Regenmesser angegeben. Dabei ist t in Stunden und h in mm gemessen. Betrachtet wird das Zeitintervall [0;12].

  1. Wie viel Regen ist in der gesamten Zeit gefallen?
  2. Ist in der ersten Hälfte des Intervalls mehr Regen gefallen oder in der zweiten?
  3. Beschrieben Sie, wie Sie die Regenheftigkeit mathematisch ausdrücken können.
  4. Hat es zum Zeitpunkt 2 Stunden oder zum Zeitpunkt 4 Stunden stärker geregnet?
  5. Wann hat es im Laufe des Zeitintervalls am stärksten geregnet? Wann hat es am wenigsten geregnet?

Geben Sie zu jedem Aufgabenteil eine Begründung.

 

5. Durch die Gleichung v(t) = t3 – 9t2 + 27 t + 4 ist eine Geschwindigkeitsfunktion im Intervall [0;5] gegeben. Dabei wird t in s und v in km/h gemessen.

  1. Wie groß ist die Geschwindigkeit nach 2 Sekunden?
  2. Zu welchem Zeitpunkt ist die Geschwindigkeit maximal? Zu welchem Zeitpunkt ist sie minimal? Wie groß sind maximale bzw. minimale Geschwindigkeit?
  3. Zu welchem Zeitpunkt ist die Beschleunigung maximal? Zu welchem Zeitpunkt ist sie minimal? Wie groß sind maximale bzw. minimale Beschleunigung?

 

6. Durch die Gleichung v(t) = t3 – 12t2 + 48 t + 3 ist eine Geschwindigkeitsfunktion im Intervall [0;5] gegeben. Dabei wird t in s und v in km/h gemessen.

  1. Wie groß ist die Geschwindigkeit nach 3 Sekunden?
  2. Zu welchem Zeitpunkt ist die Geschwindigkeit maximal? Zu welchem Zeitpunkt ist sie minimal? Wie groß sind maximale bzw. minimale Geschwindigkeit?
  3. Zu welchem Zeitpunkt ist die Beschleunigung maximal? Zu welchem Zeitpunkt ist sie minimal? Wie groß sind maximale bzw. minimale Beschleunigung?

 

 

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