Anwendungsorientierte Aufgaben zur Integralrechnung

In dieser Sammlung werden verschiedene Aufgaben angeboten, die im Unterricht oder bei den Hausaufgaben eingesetzt wurden. Viele Aufgaben wurden in sehr offenen Form im Unterricht dargeboten, so dass keine ausformulierten Fassungen davon existieren.

1. In dieser Aufgabe geht es um eine Vorhersage des Energiebedarfs des Landes Integralia für die nächsten 15 Jahre. Die Forscher sind der Meinung, daß die Bevölkerungszahl dieses aufstrebenden Staates durch die Funktion mit der Gleichung

beschrieben werden kann. Dabei wird die Zeit t in Jahren genommen, die aktuelle Zeit ist t=0; b wird in Millionen Einwohner genommen.

Aus Erfahrung weiß man, daß je 100 000 Einwohner einen Jahresenergiebedarf von 50 000 Energieeinheiten haben.

Gesucht ist nun der gesamte Energiebedarf für die nächsten 15 Jahre. 

1. Begründen Sie, daß zur Beantwortung dieser Frage die Integralrechnung wichtig ist.
2. Geben Sie das zu berechnende Integral an und lösen Sie es.
3. Ändern Sie die Aufgabenstellung so ab, daß die Aufgabe mit einfacher Multiplikation gelöst werden kann.

2. Eine Bakterienkultur wird in einer Nährlösung angesetzt. Folgende Angaben haben die Biologen zur Verfügung gestellt:

• Die Menge des Nährstoffs in der Lösung wird in Nährstoffeinheiten angegeben. Je 100 000 Bakterien benötigen pro Tag 2 Nährstoffeinheiten.
• Die Anzahl der Bakterien läßt sich näherungsweise durch eine Funktion a angeben. Dabei wird die Zeit t in Tagen und die Anzahl in 100 000 Bakterien gemessen. Zum Zeitpunkt t=0 wird die Kultur angesetzt.
• Die Bakterienkultur muß fünf Tage lang überleben.

Für den Experimentator ist es nun wichtig, vor dem Experiment zu wissen, wieviel Nährstoffeinheiten er in die Lösung geben muß.

1. Begründen Sie, daß zur Beantwortung dieser Frage die Integralrechnung wichtig ist.
2. Geben Sie das zu berechnende Integral an.
3. Ändern Sie die Aufgabenstellung so ab, daß die Aufgabe mit einfacher Multiplikation gelöst werden kann.